流線と流跡線と流脈線

ここの図がわかりやすいので見てください。
もっと知りたい！熱流体解析の基礎14 第3章流れ：3.2.3 流線と流脈線, 流跡線｜投稿一覧

イメージが付いたら式で表しましょう。

流線

流線の方程式は次の通り
$\displaystyle \frac{dx}{v_x(x,y,z,t)}=\frac{dy}{v_y(x,y,z,t)}=\frac{dz}{v_z(x,y,z,t)}$
これを積分すれば良い。

たとえば、一定一様な速度場 $\boldsymbol{v}(x,y,z,t)=(V_x,V_y,V_z)$ のとき、上の式に代入してそれぞれ積分すれば、
$\displaystyle \frac{x}{V_x}+C_1=\frac{y}{V_y}+C_2=\frac{z}{V_z}+C_3$
別々の変数の式がイコールで結ばれてるのでこれは定数で、それを $k$ とでもおくと、
${\displaystyle \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x=-V_xC_1+V_xk =x_0+V_xk\\ y=-V_yC_2+V_yk =y_0+V_yk \\ z=-V_zC_3+V_zk =z_0+V_zk \end{array} \right. \end{eqnarray} }$
となり、これは $\boldsymbol{v}=(V_x,V_y,V_z)$ に平行な直線たちです。 $k$ は媒介変数。
予想通りの結果になってうれしいですね。

ベクトルで表すなら、
$\boldsymbol{x}(s) \parallel \boldsymbol{v}(\boldsymbol{x}(s),t)$
とか、
$\boldsymbol{x}(s) \times \boldsymbol{v}(\boldsymbol{x}(s),t) = \boldsymbol{0}$
ですね。 $s$ は媒介変数です。

流跡線

流線の方程式に似せて書くと、
$\displaystyle \frac{dx}{v_x(x,y,z,t)}=\frac{dy}{v_y(x,y,z,t)}=\frac{dz}{v_z(x,y,z,t)}=dt$

ってなるんですが、気持ち的にわかりやすいのは

${\displaystyle \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{dx}{dt} = v_x(x,y,z,t) \\ \dfrac{dy}{dt} = v_y(x,y,z,t) \\ \dfrac{dz}{dt} = v_z(x,y,z,t) \end{array} \right. \end{eqnarray} }$

のほうだと思います。

例題は自分で適当に探してください。たぶん $v_x=U_0\,,\,$ $v_y=U_0\cos{(kx-\omega t)}\,,\,$ $v_z=0$ の２次元の例が出てくると思います。

ベクトルで表すなら、さっき出した式そのまんまで、
$\displaystyle \dfrac{d\boldsymbol{x}}{dt} = \boldsymbol{v}(\boldsymbol{x},t)$
です。

流脈線

同じ点でインクをポタポタ垂らしたらできる曲線です。

って言われると流跡線と同じになりそうな気がしませんか？
たしかに落ちたインク１滴１滴は流跡線を描くし、落とされた点を必ず通るんですが、それぞれの流跡線が同じとは限りません。だって出発時刻が違うから。
時刻が違えば同じ点でも(定常流や特殊な場合じゃない限りは)違う速度(ベクトル)をもつわけで、その後にたどる道のりもバラバラになります。

定式化ですが、一般を考えるアタマが足りないので、具体的なのを次の例で見て満足してください。

具体例(2次元流れ)

なんかやたらよく見る例を紹介しておきます。

さっき流跡線のところで言った、２次元の速度場が $v_x = U_0\,,\, v_y=V_0\cos{(kx-\omega t)}$ のときを考えます。

まず流線がどんな感じか見ましょう。
$\displaystyle \frac{dx}{U_0}=\frac{dy}{V_0\cos{(kx-\omega t)}}$
変数分離して積分してやれば、
$y = \dfrac{V_0}{kU_0} \sin{(kx-\omega t)} +C$
となります。これが各時刻で速度を繋げた線になります。

Desmosで図かいたんで値てきとうにイジって遊んでください(表示されないときはリンク先で見てね)。
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どんな場やねんこれ

では流跡線はどうなるでしょうか。
$v_x = U_0\,,\, v_y=V_0\cos{(kx-\omega t)}$ を流跡線の式に入れてやると、
${\displaystyle \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{dx}{dt} = U_0 \\ \dfrac{dy}{dt} = V_0\cos{(kx-\omega t)} \end{array} \right. \end{eqnarray} }$
計算してやると $t$ でのパラメータ表示になるんですが、わかりにくいので $t$ を消してやると、
$\displaystyle y=\frac{V_0}{kU_0-\omega}\sin{\left(\left( k-\frac{\omega}{U_0} \right)x+\frac{\omega}{U_0}C_1\right)}+C_2$
となります。これが流跡線。
ちょっと上にスクロールして見比べると、 $\omega=0$ のときに流線と一致することがわかります。これは速度場が時間に依存しないとき、すなわち定常流であるときの特性です。
ちなみに、定常流の場合、流線・流跡線・流脈線の３つが一致します。これを色付き流線と呼ぶそうです。

これもDesmosで描画しておきました。
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流線と流跡線を合わせて表示すると、粒子の流れがよくわかります。
青色が流線で赤色が流跡線です。粒子の動きを追いやすいようにスロー再生しています。
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最後に流脈線を考えましょう。
まず $t=t_0$ で点 $(x_0\,,\,y_0)$ を通る粒子の流跡線を特定します。
つまり流跡線の積分定数を決めるってことです。
さっきは $t$ を消した流跡線の式を書いちゃったんですが、消さずに書くと、
${\displaystyle \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x = U_0t+C_1 \\ y = \dfrac{V_0}{kU_0-\omega}\sin{((kU_0-\omega)t+kC_1)}+C_2 \end{array} \right. \end{eqnarray} }$

これが時刻 $t_0$ で $(x_0\,,\,y_0)$ のときを考えるから、安直に代入してやれば、

$\displaystyle C_1=x_0-U_0t_0\\ C_2=y_0-\dfrac{V_0}{kU_0-\omega}\sin{(kx_0-\omega t_0)}$

ってなって、流跡線の式に戻すと、

${\displaystyle \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x=x_0+U_0(t-t_0) \\ y=y_0+\dfrac{V_0}{kU_0-\omega}\{ \sin{( (kU_0-\omega)t+k(x_0-U_0t_0) )}-\sin{( kx_0-\omega t_0 )} \} \end{array} \right. \end{eqnarray} }$

となります。不格好ですが後でいじるのでそのままにしておきます。
これが時刻 $t_0$ に $(x_0\,,\,y_0)$ を通る(通った)点の媒介変数表示で、 $t$ を動かすとさっきのアニメーションの白丸〇みたいになります。

あとはこの２つの式から $t_0$ を消してやれば良いですね。
$x$ の式から $t_0$ を出して $y$ の式に代入して、和積公式でゴチャゴチャすると、
$y=y_0+\dfrac{2V_0}{kU_0-\omega}\sin{\left( (k-\frac{\omega}{U_0})(x-x_0) \right)}\cos{\left( \frac{1}{2}(k+\frac{\omega}{U_0})x + \frac{1}{2}(k-\frac{\omega}{U_0})x_0 - \omega t \right)}$
これが流脈線の方程式です。

式で見てもなんもわからんので図示しますね。

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ポインターのある位置にインクをポタポタ落とした時に描かれる曲線です。ポインターは動かせるので遊んでみてください。
移動する白丸〇をインクの先頭だと思って見れば、流脈線が形成されていくイメージがわくんじゃないでしょうか。
あたりまえですが、実際の流脈線はポインターの右側にしか存在しません。ポインター左側の曲線は、将来的に点 $(x_0,y_0)$ に重なってインクが落とされるところだと解釈できます。

で、これを流線や流跡線と重ねて表示すると、納得がいくわけです。
青色が流線、赤色が流跡線、橙色点線が流脈線です。
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橙色の流脈線が、青色の流線に沿って拡がったり集まったりするのがわかりますか？
流脈線上の各点は、流線に沿って動く粒子だということが理解できますね。

ポインターを動かしたりして遊んでください。
それと、 $\omega$ (Desmosでは $w$ )がゼロのとき、流線と流跡線と流脈線が一致することを確認してみてくださいね。

これ以上グラフで遊ぶとページの表示に時間がかかるので終わりましょう。お疲れさまでした。

メモ帳

ただのメモです。

流線と流跡線と流脈線

流線

流跡線

流脈線

具体例(2次元流れ)