メモ帳

ただのメモです。

H29 II-3A 物理数学

院試過去問メモ

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物理のための数学1でやるやつです。

(1)
覚えておくべきこと
周期が2Lの関数f(x)のフーリエ級数展開
\displaystyle f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos{\frac{n\pi x}{L}}+b_n\sin{\frac{n\pi x}{L}}\right)
ただし、
\displaystyle \begin{eqnarray} a_n&=&\frac{1}{L}\int_0^{2L}f(x)\cos{\frac{n\pi x}{L}}dx\\ b_n&=&\frac{1}{L}\int_0^{2L}f(x)\sin{\frac{n\pi x}{L}}dx \end{eqnarray}

一応計算過程も書いておきますが、解答としては冗長かもしれません。

(解答)
フーリエ係数を計算すると、
\displaystyle \frac{1}{2}\int_{-1}^1x^2dx=\frac{1}{3}

\displaystyle \begin{eqnarray} \int_{-1}^1x^2\cos{(n\pi x)}dx &=& 2\int_0^1x^2\cos{(n\pi x)}dx \\&=& \left\lbrack2x^2\frac{1}{n\pi}\sin{(n\pi x)}\right\rbrack_{x=0}^1-\int_0^1\frac{4}{n\pi}x\sin{(n\pi x)}dx \\&=& \left\lbrack\frac{4}{n^2\pi^2}x\cos{(n\pi x)}\right\rbrack_{x=0}^1-\int_0^1\frac{4}{n^2\pi^2}\cos{(n\pi x)}dx \\&=& \frac{4}{n^2\pi^2}(-1)^n \end{eqnarray}

\displaystyle \begin{eqnarray} \int_{-1}^1x^2\sin{(n\pi x)}dx &=&0 \end{eqnarray}

となるので、フーリエ級数展開すると、

\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{n^2\pi^2}(-1)^n\cos{(n\pi x)}
(解答終)


(2)
x=1を代入するだけです。

(解答)
(1)の結果にx=1を代入すると、
\displaystyle 1=\frac{1}{3}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{n^2\pi^2} \\ \displaystyle \therefore\, \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}
(解答終)


シンプルでいいですね。