H29 II-3B 力学 - メモ帳

勉強楽しい期きた

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固有値が振動数 $\omega^2$ になってて、固有ベクトルが固有振動モードを表します。
よくわからない人は図1の場合で復習してください。

運動方程式が不安な場合はLagrangianからEuler-Lagrange方程式を立てれば良いです。

(解答)
運動方程式は、 $\displaystyle \boldsymbol{x}(t)= \left( \begin{array}{c} x_1(t) \\ x_2(t) \\ x_3(t) \\ \end{array} \right)$ として、
$\displaystyle \ddot{\boldsymbol{x}}(t)=-A\boldsymbol{x}(t)$
ここで、
$\displaystyle A=\frac{G}{m} \left( \begin{array}{ccc} 1+\frac{K}{G} & 0 & -1 \\0 & 1+\frac{K}{G} & -1 \\-\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 1 \\ \end{array} \right)$
である。

$A$ の固有値は $\lambda=\frac{K+G}{m},\,\frac{K+2G}{2m},\,\frac{K}{2m}$ だから、
固有振動数は、 $\sqrt{\frac{K+G}{m}},\,\sqrt{\frac{K+2G}{2m}},\,\sqrt{\frac{K}{2m}}$ である。
それぞれ固有ベクトルは、 $^t(1,-1,0),\,^t(1,1,-1),\,^t(1,1,1)$ であり、図示すると次のようになる。

$\omega=\sqrt{\frac{K+G}{m}}$ のとき、 $\displaystyle \left\lbrack \overrightarrow{\circ}\, \dot{\bigcirc}\, \overleftarrow{\circ} \right\rbrack$
$\omega=\sqrt{\frac{K+2G}{2m}}$ のとき、 $\displaystyle \left\lbrack \overrightarrow{\circ}\, \overleftarrow{\bigcirc}\, \overrightarrow{\circ} \right\rbrack$
$\omega=\sqrt{\frac{K}{2m}}$ のとき、 $\displaystyle \left\lbrack \overrightarrow{\circ}\, \overrightarrow{\bigcirc}\, \overrightarrow{\circ} \right\rbrack$
(解答終)

図をLaTeX数式モードで書いた。なかなか良くできていると思います。

解答は簡潔に書いてますが、裏でめっちゃ計算してます。疲れた。