R3 I-3B 量子力学

今日も布団の中で解きます

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(1)
言われた通りに解いて、境界条件からエネルギー準位を出します。
0からaに設定されているので、-aからaのときと比べて場合分けが楽ですね。優しい。

(解答)
$k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$ とすると、式(A)は
$\displaystyle\frac{d^2}{dx^2}\varphi(x)=-k^2 \varphi(x)$
と表される。この一般解は、
$\displaystyle \varphi(x)=A\cos{(kx)}+B\sin{(kx)}$
である。

境界条件を考える。
$\varphi(0)=0$ より、 $A=0$ となる。
$\varphi(a)=0$ より、 $B=0$ は自明な解として除くと、 $ka=n\pi \, (n=1,2,\cdots)$
となるから、エネルギー準位は、
$\displaystyle E_{n}=\frac{\pi^{2}\hbar^{2}}{2ma^2}n^2 \,(n=1,2,\cdots)$
と求まる。
(解答終)

(2)
規格化するだけです。

(解答)
$\displaystyle \begin{eqnarray} 1 &=& \int_{-\infty}^{\infty} dx\, | \varphi(x) | ^2 \\ &=& \int_{0}^{a} |B|^2 \sin^2(\frac{n\pi}{a}x)\\ &=& |B|^2 \frac{a}{2} \end{eqnarray}$
$B=\sqrt{\frac{2}{a}}$

よって、規格化された波動関数は
$\varphi(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin{\left( \frac{n\pi}{a}x \right) }$
(解答終)

「位相を除き」とか書かなくても大丈夫かな、大丈夫か。

今日は朝から院⁣試説⁣明会があります。
ちゃんと起きられますように。

(追記 2021/05/08 8:09)
ちゃんと起きました

メモ帳

ただのメモです。

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