R2 1-3B 電磁気学

2日サボったから自戒も込めて電磁気やります。

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「図1のように」とか言ってるくせに載ってる図が全然違ったのでキレました。
想像で補ってください。
以下の解答では、z軸まわりに回転していると想定しています。

(1)
覚えておくべきこと
ビオサバールの法則
$\displaystyle d\boldsymbol{B}= \frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{Id\boldsymbol{l}\times\boldsymbol{r}}{r^{3}}$

微小円環が回って円電流をつくるので、円電流の大きさを求めて、それがつくる磁場をビオサバールの法則で求めます。

(解答)
微小円環がつくる円電流の大きさ $I$ を求める。
微小円環上の電荷 $q$ は、
$\displaystyle \begin{eqnarray} q &=& \frac{2\pi a^{2}\sin{\theta}d\theta}{4\pi a^{2}}Q \\ &=& \frac{1}{2}Q\sin{\theta}d\theta \end{eqnarray}$
であるから、
$\displaystyle \begin{eqnarray} I &=& q\frac{\omega}{2\pi} \\ &=& \frac{\omega Q}{4\pi}\sin{\theta}d\theta \end{eqnarray}$

円電流が原点につくる磁場の大きさは、軸方向の成分だけ考えればよく、ビオサバールの法則から、
$\displaystyle \begin{eqnarray} dB &=& \frac{\mu_{0}}{4\pi}\int_{0}^{2\pi} \frac{I(a\sin{\theta}d\phi)\times a}{a^{3}}\cdot\sin{\theta} \\ &=& \frac{\mu_{0}I}{2a}\sin^2{\theta} \\ &=& \frac{\mu_{0}\omega Q}{8\pi a}\sin^3{\theta}d\theta \end{eqnarray}$
となる。
向きは回転軸方向(たぶんz軸正方向)である。
(解答終)

(2)
$\theta$ で積分するだけです。
$\sin^3{\theta}$ の積分は、ウォリスの公式を覚えておくか、3倍角か、2乗をcosになおして…とか、まぁ腕力で突破してください。

(解答)
磁場の大きさは、
$\displaystyle \begin{eqnarray} B &=& \int_{0}^{\pi}\frac{\mu_{0}\omega Q}{8\pi a}\sin^3{\theta}d\theta \\ &=& \frac{\mu_{0}\omega Q}{6\pi a} \end{eqnarray}$
方向は(おそらく)z軸正の向きである。
(解答終)

疲れた。寝ます。

メモ帳

ただのメモです。

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