R2 I-3C 物理数学

25点問題楽しいね

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(1)
特性方程式を解いておきます。
$\displaystyle \lambda^2+2\beta\lambda+\omega_0^2=0\\ \lambda=-\beta\pm\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}$
$\beta>\omega_0$ ならexpの線型結合、 $\beta<\omega_0$ ならsinとcosの和です。

(解答)
$\lambda_{\pm}=-\beta\pm\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}$ とすると、与方程式は
$\displaystyle \left(\frac{d}{dx}-\lambda_{+}\right)\left(\frac{d}{dx}-\lambda_{-}\right)x=0$
と書ける。

$\beta>\omega_0$ のとき、一般解は
$\displaystyle x(t)=C_1e^{\lambda_{+}t}+C_2e^{\lambda_{-}t}$

$\beta<\omega_0$ のとき、 $\omega=\sqrt{\omega_0^2-\beta}$ として、一般解は
$\displaystyle x(t)=e^{-\beta t}\left(C_1\cos{(\omega t)}+C_2\sin{(\omega t)}\right)$
(解答終)

(2)
言われた通り解いて説明すれば良いです。
図があると(採点の面でも)楽だと思います。

(解答)
$\beta>\omega_0$ のとき、 $x(0)=0$ より
$\displaystyle \begin{eqnarray} x(t)&=&C_1e^{\lambda_{+}t}-C_1e^{\lambda_{-}t}\\&=& C_1e^{-\beta t}\cdot 2\sinh{(\sqrt{\beta^2-\omega_0^2}t)} \end{eqnarray}$
となり、これは $t\rightarrow\infty$ で0となる。

$\beta<\omega_0$ のとき、 $x(0)=0$ より
$\displaystyle x(t)=C_2e^{-\beta t}\sin{\left(\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}t\right)}$
となり、これは振動しながら減衰していく解である。
(解答終)

やっぱり図は必須ですね。
あと過減衰のほうは極値があるので、微分して増減表書いたら丁寧だと思います。知らんけど。

メモ帳

ただのメモです。

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