H31 I-3A 力学 - メモ帳

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激オモロ問題来ましたね。
運動量保存則を考えると、自然と運動方程式が現れます。
あとは微分方程式を解きます。

↓脳内イメージ
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(解答)
時刻 $t$ から $t+\Delta t$ の間の運動量変化を考える。
この間に受ける力積は $-M(t)g\Delta t$ だから、
$\displaystyle\begin{eqnarray} -M(t)g\Delta t &=& [ M(t+\Delta t)v(t+\Delta t) \\&&+\left(M(t)-M(t+\Delta t)\right)\left(v(t)-u\right)] \\&&-[M(t)v(t)] \end{eqnarray}$
右辺を $\Delta t$ の一次まで展開し、両辺を $\Delta t$ で割って整理すると、次の運動方程式を得る。
$\displaystyle \dot{v}=-\frac{\dot{M}}{M}u-g$
(ドットは時間微分を表す)
両辺 $0$ から $t$ まで積分すると、
$\displaystyle v(t)-v(0)=-\left(\log M(t)-\log M(0)\right)u-gt$
初期条件を代入し、
$\displaystyle v(t)=-u\log \frac{M(t)}{M_0}-gt$
を得る。
(解答終)

燃料による加速＋自由落下、となって答えもきれいですね。
明日はロ⁣ー⁣レ⁣ン⁣ツ⁣祭です。寝坊しませんように。