H31 I-3B 誤差統計

25点問題はあまり解答が公開されていないみたいで、これももしかしたら有益な記事なのかもしれない。（※責任はもちません）

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(1)
高校で習ったことを思いだして、定義通り計算するだけです。
expをテイラー展開した形になり、相殺されます。
分散は、(二乗平均)-(平均の二乗)で求めます。

(解答)
平均は、
$\displaystyle \begin{eqnarray} E[X] &=& \sum_{k=0}^{\infty}kP_{\lambda}(X=k) \\ &=& \sum_{k=0}^{\infty}k\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!} \\ &=& \sum_{k=1}^{\infty}\lambda\frac{\lambda^{k-1}e^{-\lambda}}{(k-1)!} \\ &=& \lambda \end{eqnarray}$

分散を求める。
$\displaystyle \begin{eqnarray} E[X^2] &=& \sum_{k=0}^{\infty}k^2P_{\lambda}(X=k) \\ &=& \sum_{k=0}^{\infty}(k(k-1)+k)\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!} \\ &=& (\lambda^2+\lambda)\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!} \\ &=& \lambda^2+\lambda \end{eqnarray}$
であるから、分散は
$\displaystyle \begin{eqnarray} V[X] &=& E[X^2]-(E[X])^2 \\ &=& (\lambda^2+\lambda)-\lambda^2 \\&=& \lambda \end{eqnarray}$
(解答終)