メモ帳

ただのメモです。

R3 I-2 物理数学

院試過去問メモ

50点問題。(1)~(7)まで。

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問題全文

(解答)
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25点問題が尽きたので、今回から50点問題を扱っていきます。
解答を書くのが面倒なので手書きです。


感想

(6)のrotでメチャ焦ったけどふつうに∇と外積とればいいだけだった。
(7)の積分で変な感じになっちゃったので、最初からSをxy平面上にしておけばよかった。

H29 II-3D 電磁気学

院試過去問メモ

実は電磁気学が苦手なので、あえて電磁気バリバリ使う課題⁣研究を選びました。

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鏡像法で解きます。
複素関数を使う方法もあった気がしますが、難しいことはわかりません。

(1)
鏡像を3つ置きます。
平面なので何も考えず対称な点に配置しましょう。

(解答)
下図のように点電荷を配置したときを考えればよい。
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x>0,\,y>0での電位は、
\displaystyle \begin{eqnarray} \phi(x,y,z) &=& \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \left\lbrack \left((x-a)^2+(y-b)^2+z^2\right)^{-1/2} \right. \\&&-\left((x+a)^2+(y-b)^2+z^2\right)^{-1/2} \\&&-\left((x-a)^2+(y+b)^2+z^2\right)^{-1/2} \\&&+\left.\left((x+a)^2+(y+b)^2+z^2\right)^{-1/2} \right\rbrack \end{eqnarray}
(解答終)


(2)
「…を示せ.」
「はい。」

(解答)
\displaystyle \begin{eqnarray} \phi(x,0,z) &=& \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \left\lbrack \left((x-a)^2+b^2+z^2\right)^{-1/2} \right. \\&&-\left((x+a)^2+b^2+z^2\right)^{-1/2} \\&&-\left((x-a)^2+b^2+z^2\right)^{-1/2} \\&&+\left.\left((x+a)^2+b^2+z^2\right)^{-1/2} \right\rbrack \\&=& 0 \end{eqnarray}

\displaystyle \begin{eqnarray} \phi(0,y,z) &=& \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \left\lbrack \left(a^2+(y-b)^2+z^2\right)^{-1/2} \right. \\&&-\left(a^2+(y-b)^2+z^2\right)^{-1/2} \\&&-\left(a^2+(y+b)^2+z^2\right)^{-1/2} \\&&+\left.\left(a^2+(y+b)^2+z^2\right)^{-1/2} \right\rbrack \\&=& 0 \end{eqnarray}
(解答終)


導体球のときの鏡像も復習しておきましょうね。

H29 II-3C 量子力学

院試過去問メモ

スピンアトップスピンスピンスピン

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覚えておくべきこと
スピン1/2の2粒子の合成スピンSとスピン波動関数
S=0\,;\,\frac{1}{\sqrt{2}}(\vert\uparrow\downarrow\rangle-\vert\downarrow\uparrow\rangle)

S=1\,;\, \left\lbrace \begin{array}{c} \vert\uparrow\uparrow\rangle\\ \frac{1}{\sqrt{2}}(\vert\uparrow\downarrow\rangle+\vert\downarrow\uparrow\rangle)\\ \vert\downarrow\downarrow\rangle\\ \end{array} \right.

(1)
全4通りについて計算すればよいです。

(解答)
(s_1,s_2)=(\pm\frac{1}{2},\pm\frac{1}{2})の4通りについて、

\displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{H}|s_1,s_2\rangle &=& J\hat{s}_1^z\hat{s}_2^z|s_1,s_2\rangle \\&=& \begin{cases} \frac{1}{4}J|s_1,s_2\rangle & (s_1,s_2)=(\frac{1}{2},\frac{1}{2}),(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}) \\-\frac{1}{4}J|s_1,s_2\rangle & (s_1,s_2)=(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}),(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}) \end{cases} \end{eqnarray}

よって、エネルギーは\pm\frac{1}{4}Jで、縮退度はともに2。
(解答終)


(2)
一重項と三重項の場合をそれぞれ計算してやります。

(解答)
合成スピンの大きさSは0または1である。

\displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{H}|s_1,s_2\rangle &=& J\hat{\boldsymbol{s}}_1\cdot\hat{\boldsymbol{s}}_2|s_1,s_2\rangle \\&=& \frac{J}{2}\left((\hat{\boldsymbol{s}}_1+\hat{\boldsymbol{s}}_2)^2-(\hat{\boldsymbol{s}}_1^2+\hat{\boldsymbol{s}}_2^2)\right)|s_1,s_2\rangle \\&=& \frac{J}{2}\left(S(S+1)-\frac{1}{2}\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\frac{3}{2}\right)|s_1,s_2\rangle \\&=& \begin{cases}-\frac{3}{4}J|s_1,s_2\rangle & (S=0)\\ \frac{1}{4}J|s_1,s_2\rangle & (S=1) \end{cases} \end{eqnarray}

よって、エネルギーは-\frac{3}{4}J\,(縮退度1),\,\frac{1}{4}J\,(縮退度3)である。
(解答終)


(3)
(1),(2)でやった場合分けを行えば大丈夫です。

(解答)
s_1,\,s_2が同符号のとき、S=1であるから、
\displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{H}|s_1,s_2\rangle &=& \left\lbrack (1-x)J\hat{s}_1^z\hat{s}_2^z+\frac{1}{2}xJ\left((\hat{\boldsymbol{s}}_1+\hat{\boldsymbol{s}}_2)^2-(\hat{\boldsymbol{s}}_1^2+\hat{\boldsymbol{s}}_2^2)\right) \right\rbrack|s_1,s_2\rangle \\&=& \left\lbrack \frac{1}{4}(1-x)J+\frac{1}{4}xJ \right\rbrack|s_1,s_2\rangle \\&=& \frac{J}{4}|s_1,s_2\rangle \end{eqnarray}

s_1,\,s_2が異符号で、S=0のとき、
\displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{H}|s_1,s_2\rangle &=& \left\lbrack -\frac{1}{4}(1-x)J-\frac{3}{4}xJ \right\rbrack|s_1,s_2\rangle \\&=& \left(-\frac{J}{2}x-\frac{J}{4}\right)|s_1,s_2\rangle \end{eqnarray}

s_1,\,s_2が異符号で、S=1のとき、
\displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{H}|s_1,s_2\rangle &=& \left\lbrack -\frac{1}{4}(1-x)J+\frac{1}{4}xJ \right\rbrack|s_1,s_2\rangle \\&=& \left(\frac{J}{2}x-\frac{J}{4}\right)|s_1,s_2\rangle \end{eqnarray}

以上を図示すると次のようになる。f:id:neverly084:20210520120715p:plain
丸数字は縮退度。
(解答終)


ルーターの調子が悪くて気分も悪い。

H29 II-3B 力学

院試過去問メモ

勉強楽しい期きた

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固有値が振動数\omega^2になってて、固有ベクトルが固有振動モードを表します。
よくわからない人は図1の場合で復習してください。

運動方程式が不安な場合はLagrangianからEuler-Lagrange方程式を立てれば良いです。

(解答)
運動方程式は、\displaystyle \boldsymbol{x}(t)= \left( \begin{array}{c} x_1(t) \\ x_2(t) \\ x_3(t) \\ \end{array} \right) として、
\displaystyle \ddot{\boldsymbol{x}}(t)=-A\boldsymbol{x}(t)
ここで、
\displaystyle A=\frac{G}{m} \left( \begin{array}{ccc} 1+\frac{K}{G} & 0 & -1 \\0 & 1+\frac{K}{G} & -1 \\-\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 1 \\ \end{array} \right)
である。

Aの固有値は\lambda=\frac{K+G}{m},\,\frac{K+2G}{2m},\,\frac{K}{2m}だから、
固有振動数は、\sqrt{\frac{K+G}{m}},\,\sqrt{\frac{K+2G}{2m}},\,\sqrt{\frac{K}{2m}}である。
それぞれ固有ベクトルは、^t(1,-1,0),\,^t(1,1,-1),\,^t(1,1,1)であり、図示すると次のようになる。

\omega=\sqrt{\frac{K+G}{m}}のとき、\displaystyle \left\lbrack \overrightarrow{\circ}\, \dot{\bigcirc}\, \overleftarrow{\circ} \right\rbrack
\omega=\sqrt{\frac{K+2G}{2m}}のとき、\displaystyle \left\lbrack \overrightarrow{\circ}\, \overleftarrow{\bigcirc}\, \overrightarrow{\circ} \right\rbrack
\omega=\sqrt{\frac{K}{2m}}のとき、\displaystyle \left\lbrack \overrightarrow{\circ}\, \overrightarrow{\bigcirc}\, \overrightarrow{\circ} \right\rbrack
(解答終)


図をLaTeX数式モードで書いた。なかなか良くできていると思います。

解答は簡潔に書いてますが、裏でめっちゃ計算してます。疲れた。

H29 II-3A 物理数学

院試過去問メモ

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物理のための数学1でやるやつです。

(1)
覚えておくべきこと
周期が2Lの関数f(x)のフーリエ級数展開
\displaystyle f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos{\frac{n\pi x}{L}}+b_n\sin{\frac{n\pi x}{L}}\right)
ただし、
\displaystyle \begin{eqnarray} a_n&=&\frac{1}{L}\int_0^{2L}f(x)\cos{\frac{n\pi x}{L}}dx\\ b_n&=&\frac{1}{L}\int_0^{2L}f(x)\sin{\frac{n\pi x}{L}}dx \end{eqnarray}

一応計算過程も書いておきますが、解答としては冗長かもしれません。

(解答)
フーリエ係数を計算すると、
\displaystyle \frac{1}{2}\int_{-1}^1x^2dx=\frac{1}{3}

\displaystyle \begin{eqnarray} \int_{-1}^1x^2\cos{(n\pi x)}dx &=& 2\int_0^1x^2\cos{(n\pi x)}dx \\&=& \left\lbrack2x^2\frac{1}{n\pi}\sin{(n\pi x)}\right\rbrack_{x=0}^1-\int_0^1\frac{4}{n\pi}x\sin{(n\pi x)}dx \\&=& \left\lbrack\frac{4}{n^2\pi^2}x\cos{(n\pi x)}\right\rbrack_{x=0}^1-\int_0^1\frac{4}{n^2\pi^2}\cos{(n\pi x)}dx \\&=& \frac{4}{n^2\pi^2}(-1)^n \end{eqnarray}

\displaystyle \begin{eqnarray} \int_{-1}^1x^2\sin{(n\pi x)}dx &=&0 \end{eqnarray}

となるので、フーリエ級数展開すると、

\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{n^2\pi^2}(-1)^n\cos{(n\pi x)}
(解答終)


(2)
x=1を代入するだけです。

(解答)
(1)の結果にx=1を代入すると、
\displaystyle 1=\frac{1}{3}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{n^2\pi^2} \\ \displaystyle \therefore\, \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}
(解答終)


シンプルでいいですね。