H29 II-3C 量子力学

スピンアトップスピンスピンスピン

f:id:neverly084:20210515235838p:plain

覚えておくべきこと
スピン $1/2$ の2粒子の合成スピン $S$ とスピン波動関数
$S=0\,;\,\frac{1}{\sqrt{2}}(\vert\uparrow\downarrow\rangle-\vert\downarrow\uparrow\rangle)$

$S=1\,;\, \left\lbrace \begin{array}{c} \vert\uparrow\uparrow\rangle\\ \frac{1}{\sqrt{2}}(\vert\uparrow\downarrow\rangle+\vert\downarrow\uparrow\rangle)\\ \vert\downarrow\downarrow\rangle\\ \end{array} \right.$

(1)
全4通りについて計算すればよいです。

(解答)
$(s_1,s_2)=(\pm\frac{1}{2},\pm\frac{1}{2})$ の4通りについて、

$\displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{H}|s_1,s_2\rangle &=& J\hat{s}_1^z\hat{s}_2^z|s_1,s_2\rangle \\&=& \begin{cases} \frac{1}{4}J|s_1,s_2\rangle & (s_1,s_2)=(\frac{1}{2},\frac{1}{2}),(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}) \\-\frac{1}{4}J|s_1,s_2\rangle & (s_1,s_2)=(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}),(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}) \end{cases} \end{eqnarray}$

よって、エネルギーは $\pm\frac{1}{4}J$ で、縮退度はともに $2$ 。
(解答終)

(2)
一重項と三重項の場合をそれぞれ計算してやります。

(解答)
合成スピンの大きさ $S$ は $0$ または $1$ である。

$\displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{H}|s_1,s_2\rangle &=& J\hat{\boldsymbol{s}}_1\cdot\hat{\boldsymbol{s}}_2|s_1,s_2\rangle \\&=& \frac{J}{2}\left((\hat{\boldsymbol{s}}_1+\hat{\boldsymbol{s}}_2)^2-(\hat{\boldsymbol{s}}_1^2+\hat{\boldsymbol{s}}_2^2)\right)|s_1,s_2\rangle \\&=& \frac{J}{2}\left(S(S+1)-\frac{1}{2}\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\frac{3}{2}\right)|s_1,s_2\rangle \\&=& \begin{cases}-\frac{3}{4}J|s_1,s_2\rangle & (S=0)\\ \frac{1}{4}J|s_1,s_2\rangle & (S=1) \end{cases} \end{eqnarray}$

よって、エネルギーは $-\frac{3}{4}J\,(縮退度1),\,\frac{1}{4}J\,(縮退度3)$ である。
(解答終)

(3)
(1),(2)でやった場合分けを行えば大丈夫です。

(解答)
$s_1,\,s_2$ が同符号のとき、 $S=1$ であるから、
$\displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{H}|s_1,s_2\rangle &=& \left\lbrack (1-x)J\hat{s}_1^z\hat{s}_2^z+\frac{1}{2}xJ\left((\hat{\boldsymbol{s}}_1+\hat{\boldsymbol{s}}_2)^2-(\hat{\boldsymbol{s}}_1^2+\hat{\boldsymbol{s}}_2^2)\right) \right\rbrack|s_1,s_2\rangle \\&=& \left\lbrack \frac{1}{4}(1-x)J+\frac{1}{4}xJ \right\rbrack|s_1,s_2\rangle \\&=& \frac{J}{4}|s_1,s_2\rangle \end{eqnarray}$

$s_1,\,s_2$ が異符号で、 $S=0$ のとき、
$\displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{H}|s_1,s_2\rangle &=& \left\lbrack -\frac{1}{4}(1-x)J-\frac{3}{4}xJ \right\rbrack|s_1,s_2\rangle \\&=& \left(-\frac{J}{2}x-\frac{J}{4}\right)|s_1,s_2\rangle \end{eqnarray}$

$s_1,\,s_2$ が異符号で、 $S=1$ のとき、
$\displaystyle \begin{eqnarray} \mathcal{H}|s_1,s_2\rangle &=& \left\lbrack -\frac{1}{4}(1-x)J+\frac{1}{4}xJ \right\rbrack|s_1,s_2\rangle \\&=& \left(\frac{J}{2}x-\frac{J}{4}\right)|s_1,s_2\rangle \end{eqnarray}$